چیستان بزرگسالان با جواب؛ 180 چیستان سخت و آسان با پاسخ برای تقویت ذهن

بررسی کنید کدام شماره روز فقط در یک ماه آمده است.

پاسخ و دلیل: پاسخ: ۱۶ ژوئیه. روزهای ۱۹ و ۱۸ فقط یک بار آمده‌اند؛ اگر ماه مه یا ژوئن بود، آلبرت نمی‌توانست از ندانستن برنارد مطمئن باشد. پس آن دو ماه حذف می‌شوند.

در ژوئیه و اوت، روز ۱۴ مشترک است. برنارد حالا می‌داند؛ بنابراین روز ۱۴ نیست. گزینه‌ها می‌شوند ۱۶ ژوئیه، ۱۵ اوت و ۱۷ اوت. آلبرت هم اکنون می‌داند؛ پس ماه نمی‌تواند اوت با دو گزینه باشد. فقط ۱۶ ژوئیه باقی می‌ماند.

دام فکری: اطلاعات هر شخص را با اطلاعات خواننده یکی نگیرید. جمله اول نمی‌گوید فقط دو روز ناممکن‌اند؛ درباره تمام روزهای ماهی که آلبرت می‌داند، محدودیت ایجاد می‌کند.

در هر مرحله، حالت‌ها را با دانسته همان گوینده دسته‌بندی کنید.

پاسخ و دلیل: پاسخ: ۴ و ۱۳. ابتدا حاصل‌ضرب‌هایی با فقط یک تجزیه مجاز کنار می‌روند. جمله سارا شرط قوی‌تری دارد: همه زوج‌های دارای جمع او باید حاصل‌ضرب مبهم داشته باشند. جمع‌های مجاز این مرحله عبارت‌اند از ۱۱، ۱۷، ۲۳، ۲۷، ۲۹، ۳۵، ۳۷، ۴۱، ۴۷ و ۵۳.

پویان اکنون فقط یک زوج سازگار می‌بیند. پس از این حذف، سارا نیز باید برای جمع خودش فقط یک زوج داشته باشد. اعمال دقیق این دو شرط، تنها زوج ۴ و ۱۳ را باقی می‌گذارد؛ جمع ۱۷ و حاصل‌ضرب ۵۲ است.

برای بررسی منظم مرحله آخر، جدول زیر تعداد زوج‌های باقی‌مانده برای هر جمعِ مجاز را نشان می‌دهد؛ تنها جمع ۱۷ دقیقاً یک امکان دارد. این شمارش با همان محدوده و قواعد اعلام‌شده انجام شده است.

دام فکری: گفتن «حاصل‌ضرب ۵۲ است» راه حل نیست؛ خودِ ۵۲ در شروع هم می‌تواند از ۲ و ۲۶ ساخته شود. هر جمله باید مجموعه امکان‌های طرف مقابل را تغییر بدهد.

سه‌تایی‌های مرتب‌شده با حاصل‌ضرب ۲۴۵۰ را بر اساس مجموعشان گروه‌بندی کنید.

پاسخ و دلیل: سن رهگذرها ۵، ۱۰ و ۴۹ سال، سن بهرام ۳۲ و سن آرش ۵۰ سال است. تنها مجموع مبهم، ۶۴ است: هم سه‌تایی ۵، ۱۰، ۴۹ و هم ۷، ۷، ۵۰ آن را می‌سازند. پس بهرام ۳۲ساله است.

اگر آرش ۵۱ساله یا بیشتر بود، از هر دو سه‌تایی بزرگ‌تر می‌شد و ابهام باقی می‌ماند. اگر ۴۹ساله یا کمتر بود، از بزرگ‌ترین نفر هیچ‌کدام بزرگ‌تر نبود. بنابراین او ۵۰ساله است و فقط سه‌تایی نخست سازگار می‌ماند.

دام فکری: سن آرش در صورت سؤال داده نشده، اما اینکه جمله آخر واقعاً ابهام را برطرف کرده، خودش اطلاعات است. تساوی سن با «بزرگ‌تر بودن» فرق دارد.

کمترین و بیشترین پاسخ ممکن را کنار هم بگذارید.

پاسخ و دلیل: پاسخ: ۴ نفر. هر فرد حداکثر با ۸ نفر دست می‌دهد؛ پس پاسخ‌های متفاوت دقیقاً ۰ تا ۸ هستند. فرد دارای پاسخ ۸ با همه جز همسرش دست داده، بنابراین همسر او باید فرد دارای پاسخ ۰ باشد.

با کنار گذاشتن این زوج، در جمع باقی‌مانده نیز همین استدلال تکرار می‌شود: زوج‌ها پاسخ‌های ۷ و ۱، سپس ۶ و ۲ و سپس ۵ و ۳ را دارند. تنها پاسخ ۴ باقی می‌ماند و متعلق به همسر سؤال‌کننده است.

دام فکری: قرار نیست همه ۱۰ نفر پاسخ متفاوت داشته باشند؛ سؤال‌کننده از خودش نپرسیده است. فرض دست‌دادن همه مهمان‌ها با یکدیگر نیز با صورت سؤال ناسازگار است.

ابتدا جزیره‌ای با یک نفر و سپس دو نفر چشم‌سبز را بررسی کنید.

پاسخ و دلیل: همه در شب صدم می‌روند. یک چشم‌سبز، پس از اعلام عمومی، چون هیچ چشم‌سبز دیگری نمی‌بیند، شب اول می‌رود. دو چشم‌سبز هرکدام یک نفر می‌بینند؛ وقتی او شب اول نرفت، می‌فهمند خودشان نیز سبزند و شب دوم می‌روند.

همین استدلال پله‌پله ادامه پیدا می‌کند. در حالت ۱۰۰ نفر، هر فرد ۹۹ چشم‌سبز می‌بیند. نرفتن آن‌ها در شب نودونهم ثابت می‌کند شمار چشم‌سبزها ۹۹ نیست؛ خودش نفر صدم است.

دام فکری: اعلام عمومی فقط وجود یک رنگ را خبر نمی‌دهد؛ مبنایی مشترک برای استدلال درباره دانسته دیگران ایجاد می‌کند. فرض ارتباط پنهانی یا خودداری عمدی از رفتن، مسئله را عوض می‌کند.

پاسخ نفر اول را پیامِ زوج یا فرد بودن قرار دهید، نه گزارش مطمئن کلاه خودش.

پاسخ و دلیل: توافق کنند «سیاه» یعنی تعداد کلاه‌های سیاه جلوی نفر آخر فرد است و «سفید» یعنی زوج. نفر آخر با یک کلمه این اطلاعات را اعلام می‌کند؛ پاسخ خودش ممکن است غلط باشد.

نفر بعد، هشت کلاه را می‌بیند و زوجیت مجموع نُه کلاه را شنیده است؛ پس رنگ خودش معلوم می‌شود. نفرهای بعد نیز با کم کردن سیاه‌های اعلام‌شده و سیاه‌های قابل مشاهده، کلاه خود را تعیین می‌کنند. نُه پاسخ بعدی قطعی‌اند. تضمین هر ده نفر ممکن نیست، چون نفر آخر کلاه خودش را به هیچ روشی تشخیص نمی‌دهد.

دام فکری: پاسخ نفر آخر شاید درست باشد؛ اما «شاید» با تضمینِ درستی در همه حالت‌ها فرق دارد.

یک نفر را شمارنده کنید و برای هر فرد دیگر، فقط یک پیامِ قابل شمارش تعریف کنید.

پاسخ و دلیل: یک شمارنده انتخاب شود. هر یک از ۹۹ نفر دیگر فقط نخستین بار که لامپ خاموش می‌بیند و هنوز پیام نداده، آن را روشن کند؛ پس از آن هرگز آن را روشن نکند. شمارنده هر بار لامپ روشن را خاموش و عدد خود را یک واحد زیاد کند.

وقتی شمارنده به ۹۹ رسید، همه پیام داده‌اند. هر روشن‌شدنِ شمرده‌شده متعلق به فردی متفاوت است. شرط تکرار نوبت‌ها تضمین می‌کند پیام‌های باقی‌مانده سرانجام ثبت شوند؛ روش، موعد ثابت و کوتاهی تعیین نمی‌کند.

دام فکری: روشن کردن مکرر لامپ، مراجعه‌ها را می‌شمارد، نه افراد متفاوت را. شرط تکرار نوبت همه افراد ضروری است.

از حالتی شروع کنید که فقط دو نفر باقی مانده‌اند.

پاسخ و دلیل: تقسیم به ترتیب الف تا ث: ۹۸، ۰، ۱، ۰، ۱. با دو نفر، ت رأی خودش را دارد و همه سکه‌ها را نگه می‌دارد. با سه نفر، پ به ث یک سکه می‌دهد و ۹۹ را نگه می‌دارد.

با چهار نفر، ب به ت یک سکه می‌دهد؛ رأی خودش و ت برای نصف آرا کافی است. در این تقسیم پ و ث صفر می‌گیرند. بنابراین الف با دادن یک سکه به هرکدام، رأی آن دو را می‌خرد و همراه رأی خودش، سه رأی دارد.

دام فکری: «دست‌کم نصف» را با «بیش از نصف» عوض نکنید؛ همین تفاوت، نتیجه زنجیره را تغییر می‌دهد.

کندترین دو نفر را یک بار با هم عبور بدهید.

پاسخ و دلیل: ۱ و ۲ می‌روند: ۲ دقیقه. نفر ۱ برمی‌گردد: ۱ دقیقه. نفرهای ۵ و ۱۰ با هم می‌روند: ۱۰ دقیقه. نفر ۲ برمی‌گردد: ۲ دقیقه. سپس ۱ و ۲ می‌روند: ۲ دقیقه. جمع، ۱۷ دقیقه است.

اگر سریع‌ترین نفر بخواهد هر سه نفر دیگر را جداگانه همراهی کند، زمان ۱۹ دقیقه می‌شود. در راه حل بهتر، کندترین دو نفر یک هزینه مشترک دارند و دو فرد سریع، چراغ را جابه‌جا می‌کنند.

دام فکری: همراه کردن همیشگیِ سریع‌ترین نفر با هر فرد کند، راه طبیعی به نظر می‌رسد، اما بهترین هماهنگی نیست. موقعیت چراغ را پس از تک‌تک حرکت‌ها یادداشت کنید تا برگشتی فراموش نشود.

فاصله پرتاب‌های تخم‌مرغ اول را ثابت نگیرید.

پاسخ و دلیل: بهترین حدِ بدترین حالت، ۱۴ پرتاب است. تخم‌مرغ اول را از طبقه‌های ۱۴، ۲۷، ۳۹، ۵۰، ۶۰، ۶۹، ۷۷، ۸۴، ۹۰، ۹۵، ۹۹ و در صورت نیاز ۱۰۰ بیندازید.

پس از اولین شکست، با تخم‌مرغ دوم از پایینِ بازه نامعلوم، طبقه‌به‌طبقه بالا بروید. فاصله‌ها کم می‌شوند چون هر پرتاب قبلی، یک فرصت مصرف کرده است. با ۱۳ پرتاب، حداکثر ۱۳+۱۲+…+۱=۹۱ طبقه قابل پوشش است؛ با ۱۴ پرتاب این عدد ۱۰۵ می‌شود. پس کمتر از ۱۴ کافی نیست.

دام فکری: جست‌وجوی نصف‌کردنی، فقط تعداد طبقه‌ها را کم می‌کند و ممکن است با یک شکست، یک تخم‌مرغ برای بازه‌ای بزرگ باقی بگذارد. باید تعداد ابزارهای سالم را هم جزو وضعیت مسئله بدانید.

هر وزن‌کشی سه نتیجه دارد؛ برای هر سکه یک الگوی سه‌مرحله‌ای بسازید.

پاسخ و دلیل: یک برنامه ثابت سه‌مرحله‌ای در جدول پاسخ آمده است. در هر بار، چهار سکه در کفه چپ و چهار سکه در کفه راست‌اند؛ بقیه بیرون می‌مانند. نتیجه را با «چ» برای چپِ سنگین‌تر، «ر» برای راستِ سنگین‌تر و «ت» برای تعادل ثبت کنید.

در جدول کدها، اگر الگوی مشاهده‌شده عینِ یک ردیف بود، همان سکه سنگین‌تر است. اگر با عوض کردن چ و ر به آن ردیف رسیدید، همان سکه سبک‌تر است. تعادل تغییر نمی‌کند. ۲۴ الگوی حاصل متفاوت‌اند؛ بنابراین هر ۲۴ حالت پاسخ مشخص دارد.

سکه‌ها را از ۱ تا ۱۲ شماره بزنید. سه وزن‌کشی زیر از قبل ثابت‌اند و به نتیجه مرحله قبل وابسته نیستند:

جدول بعد، نتیجه‌هایی است که اگر سکه هر ردیف سنگین‌تر باشد دیده می‌شود. «چ» یعنی چپ سنگین‌تر، «ر» یعنی راست سنگین‌تر و «ت» یعنی تعادل. برای سبک‌تر بودن، چ و ر را عوض کنید.

برای مثال، اگر نتیجه سه مرحله «ر، ت، ت» باشد، سکه ۸ سبک‌تر است؛ چون ردیف سکه ۸ در حالت سنگین‌تر «چ، ت، ت» است. هیچ ردیف دیگری همان کد یا وارونِ آن را ندارد. این جدول برای هر ۱۲ سکه، در هر دو حالت سبک‌تر و سنگین‌تر، بررسی شده است.

دام فکری: فقط پیدا کردن سکه کافی نیست؛ تشخیص نوع اختلاف نیز بخشی از سؤال است. جدول زیر یک برنامه وزن‌کشیِ کامل است، نه دستور «چند بار امتحان کنید تا معلوم شود».

هر وزنه سه نقش دارد: کفه چپ، کنارگذاشته‌شده، یا کفه راست.

پاسخ و دلیل: چهار وزنه با جرم‌های ۱، ۳، ۹ و ۲۷ کیلوگرم کافی‌اند. برای ۲ کیلو، جسم و وزنه ۱ را مقابل ۳ می‌گذارید. برای ۵، جسم همراه ۱ و ۳ مقابل ۹ قرار می‌گیرد. برای ۱۴، جسم همراه ۱، ۳ و ۹ مقابل ۲۷ می‌ایستد.

این وزنه‌ها همه اختلاف‌های صحیح از منفی ۴۰ تا مثبت ۴۰ را می‌سازند؛ همان نمایش سه‌تاییِ متوازن. سه وزنه فقط ۲۷ حالت چیدمانِ علامت‌دار دارد، درحالی‌که پوشش کامل این اختلاف‌ها، ۸۱ مقدار شامل صفر می‌خواهد. پس سه وزنه کافی نیست.

دام فکری: اگر وزنه‌ها را فقط در کفه مقابل جسم مجاز بدانید، مسئله دیگری ساخته‌اید. بیشتر دشواری این سؤال از استفاده درستِ اجازه قرار دادن وزنه در هر دو کفه می‌آید.

به هر بطری یک کدِ ده‌رقمی از صفر و یک بدهید.

پاسخ و دلیل: بطری‌ها را از ۱ تا ۱۰۰۰ شماره‌گذاری و شماره را به صورت ده‌بیتی بنویسید. آزمایش اول شامل نمونه بطری‌هایی باشد که بیت اولشان ۱ است؛ برای ۹ آزمایش دیگر نیز همین کار تکرار شود.

الگوی مثبت و منفیِ ده آزمایش، دقیقاً کد بطری نشان‌دار است. ده نتیجه دودویی، ۱۰۲۴ حالت متفاوت می‌سازد و برای هزار بطری کافی است. نُه آزمایش، فقط ۵۱۲ الگو می‌سازد و نمی‌تواند در یک نوبت همه بطری‌ها را از هم جدا کند.

دام فکری: این سؤال درباره مدل فرضیِ انتقال اطلاعات است. راه حل، انتخاب ده بطری برای آزمایش نیست؛ هر آزمایش باید به‌طور برنامه‌ریزی‌شده اطلاعاتی درباره تعداد زیادی از بطری‌ها بدهد.

پس از مسابقه برنده‌های گروه‌ها، لازم نیست همه نفرهای دوم و سوم را نگه دارید.

پاسخ و دلیل: پنج گروه پنج‌تایی بسازید و پنج مسابقه بدهید. سپس برنده‌های گروه‌ها را مسابقه دهید. گروه‌ها را بر اساس این مسابقه الف تا ث بنامید و افراد هر گروه را از سریع به کند، ۱ تا ۵ شماره بزنید. الف۱ سریع‌ترینِ کل است.

برای رتبه‌های دوم و سوم فقط الف۲، الف۳، ب۱، ب۲ و پ۱ باقی می‌مانند. هر اسب دیگر، دست‌کم سه اسبِ معلومِ سریع‌تر از خودش دارد. این پنج اسب در مسابقه هفتم می‌دوند؛ دو نفر اولشان، دوم و سومِ کل‌اند.

دام فکری: برنده‌های سه گروه لزوماً سه اسب سریع‌تر نیستند؛ ممکن است نفر دوم گروه اول از برنده گروه دوم هم سریع‌تر باشد. حذف هر اسب باید بر پایه داشتن سه رقیبِ قطعاً سریع‌تر توضیح داده شود.

به جای پیدا کردن سکه‌های رو، یک گروه ۹۹تایی دلخواه بردارید.

پاسخ و دلیل: هر ۹۹ سکه دلخواه را جدا و همه آن ۹۹ سکه را برگردانید. فرض کنید پیش از برگرداندن، در این گروه x سکه رو بوده است. در گروه دیگر، ۹۹−x سکه رو وجود دارد.

در گروه انتخاب‌شده، تعداد پشت‌ها پیش از برگرداندن ۹۹−x بوده است. پس از برگرداندن، همان‌ها رو می‌شوند. اکنون هر دو گروه دقیقاً ۹۹−x سکه رو دارند؛ بدون اینکه حتی یک روی سکه را تشخیص داده باشید.

دام فکری: برابر بودنِ تعداد کل سکه‌ها خواسته نشده است. اگر دو گروه ۷۵تایی بسازید، دلیلی ندارید که تعداد روهایشان مساوی باشد. تغییر دادنِ مسئله به تقسیم مساوی، راه حل را پنهان می‌کند.

از جعبه هم‌شماره خود شروع کنید و هر شماره دیده‌شده را آدرس جعبه بعد بدانید.

پاسخ و دلیل: بله؛ هر نفر زنجیره شماره‌ها را دنبال کند. اگر شماره خود را در ۵۰ گام پیدا نکرد، شکست می‌خورد. این زنجیره‌ها چرخه‌های یک جایگشت‌اند؛ همه موفق‌اند اگر هیچ چرخه‌ای بلندتر از ۵۰ نباشد.

برای جایگشت تصادفی، احتمال موفقیت این روش حدود ۳۱٫۱۸ درصد است. احتمال وجود چرخه بلند برابر مجموع ۱/k برای kهای ۵۱ تا ۱۰۰ است؛ دو چنین چرخه‌ای هم‌زمان جا نمی‌شوند. با انتخاب مستقل، احتمال موفقیت همه فقط یک تقسیم بر ۲ به توان ۱۰۰ است.

دام فکری: مزیت از ساختار مشترک جست‌وجوهاست؛ هیچ جعبه‌ای جابه‌جا نمی‌شود و پیامی هم برای نفر بعد باقی نمی‌ماند.

دو حالت را مقایسه کنید: انتخاب اول درست بوده یا غلط.

پاسخ و دلیل: تعویض کنید؛ احتمال برد از یک‌سوم به دوسوم می‌رسد. اگر انتخاب اول درست باشد، تعویض می‌بازد؛ احتمال این حالت یک‌سوم است. اگر انتخاب اول غلط باشد، مجری مجبور است در خالیِ دیگر را باز کند و تعویض شما را به جایزه می‌رساند؛ احتمال این حالت دوسوم است.

باز کردن در، با قاعده و آگاهی انجام شده است. مجری اطلاعاتی درباره دو دری که انتخاب نکرده بودید آشکار می‌کند، بدون آنکه احتمال اولیه درست بودن انتخاب شما را بیشتر کند.

دام فکری: اگر مجری بدون اطلاع در را باز کند یا فقط گاهی تعویض پیشنهاد بدهد، محاسبه لزوماً همین نیست.

انتخاب ظرف با احتمال مساوی انجام می‌شود، نه انتخاب مستقیم از میان صد مهره.

پاسخ و دلیل: یک مهره سفید را تنها در ظرف اول و ۴۹ سفید و ۵۰ سیاه را در ظرف دوم بگذارید. احتمال موفقیت می‌شود نصفِ ۱ به‌علاوه نصفِ ۴۹/۹۹؛ یعنی ۷۴/۹۹، حدود ۷۴٫۷۵ درصد.

برای دیدن بهینگی، ظرف کوچک‌تر را با n مهره در نظر بگیرید. وقتی n کمتر از ۵۰ است، انتقال سهم سفیدها به این ظرف احتمال را بیشتر می‌کند؛ پس بهترین حالتِ این اندازه، سفیدِ خالص بودن آن است. احتمال حاصل با بزرگ شدن n کاهش می‌یابد؛ بنابراین n=۱ بهترین است. با دو ظرف ۵۰تایی، احتمال فقط نصف می‌شود.

دام فکری: ظرفِ سفیدِ کوچک همچنان نیمی از شانس انتخاب را دارد و سفیدهای بیشتری برای ظرف دیگر باقی می‌گذارد.

احتمال «رو، پشت» را با «پشت، رو» مقایسه کنید.

پاسخ و دلیل: سکه را دو بار بیندازید. «رو، پشت» را الف و «پشت، رو» را ب قرار دهید. اگر دو نتیجه یکسان بود، آن جفت را حذف و از اول تکرار کنید.

احتمال هر یک از دو الگوی پذیرفته‌شده برابر p(۱−p) است. پس به شرط پذیرفته شدن جفت، دو خروجی برابرند؛ تکرارِ جفت‌های حذف‌شده این برابری را تغییر نمی‌دهد. با فرض‌های سؤال، کار با احتمال ۱ سرانجام تمام می‌شود، اما تعداد پرتاب‌ها کران ثابت ندارد.

دام فکری: دو بار پرتاب کردن به‌خودی‌خود سکه را منصفانه نمی‌کند. برابری دو ترتیب مخالف، وابسته به ثابت بودن احتمال و مستقل بودن پرتاب‌هاست؛ این دو شرط را حذف نکنید.

برای هر کودک، ۱۴ حالت هم‌احتمال در نظر بگیرید و بزرگ‌تر و کوچک‌تر را جدا نگه دارید.

پاسخ و دلیل: پاسخ: ۱۳/۲۷. در حالت کلی ۱۴×۱۴=۱۹۶ زوج وجود دارد. تعداد حالت‌هایی که هیچ پسرِ سه‌شنبه‌متولدی ندارند، ۱۳×۱۳=۱۶۹ است؛ پس ۲۷ حالت در فهرست می‌ماند.

دوپسر بودن در ۷×۷=۴۹ حالت رخ می‌دهد. از این‌ها، ۶×۶=۳۶ حالت هیچ سه‌شنبه‌ای ندارند. بنابراین ۱۳ حالتِ دوپسر در میان ۲۷ حالتِ مجاز داریم. اگر به جای انتخاب از این فهرست، یک کودک تصادفی را معرفی کنیم، مسئله و جواب عوض می‌شود.

دام فکری: سه‌شنبه بر جنسیت اثر نمی‌گذارد؛ روش انتخاب خانواده‌هاست که نسبت را تغییر می‌دهد. بدون روشن کردن سازوکار نمونه‌گیری، این معمای مشهور می‌تواند چند تعبیر متفاوت پیدا کند.

مثلث زمانی ساخته می‌شود که هیچ قطعه‌ای به طول نصف چوب یا بیشتر نباشد.

پاسخ و دلیل: پاسخ: یک‌چهارم. اگر هر دو نقطه در نیمه راست باشند، قطعه چپ دست‌کم نیم‌متر است؛ احتمال این رخداد یک‌چهارم است. اگر هر دو در نیمه چپ باشند، قطعه راست همین مشکل را دارد؛ باز یک‌چهارم.

اگر فاصله دو نقطه دست‌کم نیم‌متر باشد، قطعه میانی بلند است. در مربعِ نمایش دو مختصات، این حالت دو مثلث با مساحت کل یک‌چهارم می‌سازد. سه حالت ناموفق، جز روی مرزهای با احتمال صفر هم‌پوشانی ندارند. پس احتمال شکست سه‌چهارم و موفقیت یک‌چهارم است.

دام فکری: واژه «تصادفی» به‌تنهایی روش آزمایش را تعیین نمی‌کند. شکستن دو مرحله‌ای چوب، ممکن است توزیع دیگری بسازد. پیش از شمردن حالت‌ها، معلوم کنید دقیقاً چه چیزی یکنواخت انتخاب می‌شود.

اختلاف تعداد دو رنگ را بر ۳ تقسیم کنید و به باقی‌مانده توجه کنید.

پاسخ و دلیل: خیر. اختلاف شمار قرمز و سبز در شروع برابر ۲− است که باقی‌مانده‌اش بر ۳، عدد ۱ است. در هر ملاقات، این اختلاف یا ثابت می‌ماند یا سه واحد کم‌وزیاد می‌شود؛ باقی‌مانده هرگز تغییر نمی‌کند.

اگر همه یک‌رنگ شوند، اختلاف تعداد قرمز و سبز یکی از مقدارهای صفر، ۴۵ یا ۴۵− می‌شود؛ همه بر ۳ بخش‌پذیرند. رسیدن از باقی‌مانده ۱ به باقی‌مانده صفر با حرکت‌های مجاز ناممکن است.

دام فکری: امتحان کردن تعداد زیادی ملاقات، ناممکن بودن را ثابت نمی‌کند. باید کمیتی پیدا کنید که با تمام حرکت‌های مجاز ثابت بماند و با وضعیت هدف سازگار نباشد.

فرد یا زوج بودن تعداد سفیدها را دنبال کنید.

پاسخ و دلیل: مهره نهایی حتماً سفید است. در حالت دو سیاه یا یک سفید و یک سیاه، تعداد سفیدها تغییر نمی‌کند. در حالت دو سفید، تعداد سفیدها دو واحد کم می‌شود. بنابراین تعداد سفیدها همواره فرد می‌ماند.

تعداد کل مهره‌ها در هر حرکت یک واحد کم می‌شود و سرانجام به یک می‌رسد. تعداد فردِ سفیدها نمی‌تواند صفر شود؛ پس همان یک مهره باقی‌مانده سفید است. تصادفی بودن یا نحوه انتخاب جفت‌ها در این نتیجه نقشی ندارد.

دام فکری: این مسئله ظاهراً احتمال است، اما جوابِ قطعی با زوجیت پیدا می‌شود. دنبال کردن درصد سفیدها در هر مرحله، محاسبه را طولانی می‌کند و کمیت اصلی را از دید پنهان می‌سازد.

به تعداد خانه‌های سیاه و سفید نگاه کنید، نه فقط مساحت.

پاسخ و دلیل: پوشاندن ممکن نیست. دو گوشه قطری، هم‌رنگ‌اند. با حذفشان، از یک رنگ ۳۰ خانه و از رنگ دیگر ۳۲ خانه باقی می‌ماند.

هر دومینو، چه افقی باشد چه عمودی، دقیقاً یک سیاه و یک سفید را می‌پوشاند. بنابراین ۳۱ دومینو باید ۳۱ خانه از هر رنگ بپوشاند، درحالی‌که صفحه چنین تعدادی ندارد. مساحت درست است، اما شمار رنگ‌ها مانع است.

دام فکری: زوج بودن تعداد خانه‌ها شرط لازم است، نه کافی. پیش از جست‌وجوی چیدمان، بررسی کنید هر قطعه چه ویژگی ثابتی به پوشش اضافه می‌کند؛ گاهی همین بررسی، همه چیدمان‌ها را یک‌جا رد می‌کند.

رنگ‌آمیزی معمول شطرنجی کافی نیست؛ سه رنگ و اختلاف شماره سطر و ستون را امتحان کنید.

پاسخ و دلیل: ناممکن است. خانه سطر r و ستون c را بر اساس باقی‌مانده r−c بر ۳، به سه رنگ رنگ کنید. هر قطعه مستقیم سه‌خانه‌ای، دقیقاً یک خانه از هر رنگ را می‌پوشاند.

در صفحه کامل، از هر رنگ ۴۸ خانه وجود دارد. گوشه بالاچپ و پایین‌راست رنگ صفر دارند؛ بالاراست رنگ یک دارد. پس پس از حذف، شمار سه رنگ ۴۶، ۴۷ و ۴۸ است. برای ۴۷ قطعه، باید از هر رنگ دقیقاً ۴۷ خانه داشته باشیم. بنابراین پوشش ممکن نیست.

دام فکری: کم شدن مساحت به مضرب ۳، هیچ چیدمانی را تضمین نمی‌کند. رنگ‌آمیزی باید با شکل قطعه هماهنگ باشد؛ اینجا سه‌خانه‌ای بودن قطعه، دلیل انتخاب سه رنگ است.

وارونگی‌های ترتیب مهره‌ها را همراه شماره ردیف خانه خالی بررسی کنید.

پاسخ و دلیل: خیر. مهره‌ها را به ترتیب سطرها بخوانید و خانه خالی را نادیده بگیرید. وارونگی یعنی یک عدد بزرگ‌تر، پیش از عدد کوچک‌تر آمده باشد. در شروع یک وارونگی داریم: ۱۵ پیش از ۱۴.

زوج یا فرد بودن «تعداد وارونگی‌ها + شماره ردیف خانه خالی از بالا» ثابت می‌ماند. حرکت افقی هیچ‌یک را تغییر نمی‌دهد. حرکت عمودی، مهره را از روی سه عدد عبور می‌دهد و هر دو زوجیت را عوض می‌کند؛ مجموع ثابت می‌ماند. شروع: ۱+۴ فرد است؛ هدف: ۰+۴ زوج. پس دسترسی ناممکن است.

دام فکری: نزدیک بودن ظاهریِ چیدمان به هدف، نشانه قابل حل بودن نیست. با یک جابه‌جاییِ ممنوعِ دو مهره می‌توان وارد دسته‌ای از حالت‌ها شد که هیچ حرکت مجازی به آن دسترسی ندارد.

در هر حرکت، مجموع دو مختصات حداکثر سه واحد بیشتر می‌شود.

پاسخ و دلیل: پاسخ: ۶۶ حرکت. مجموع مختصات باید از ۲ به ۱۹۸ برسد؛ افزایش ۱۹۶ واحدی لازم است. چون هر حرکت حداکثر ۳ واحد افزایش می‌دهد، دست‌کم سقفِ ۱۹۶/۳ یعنی ۶۶ حرکت نیاز داریم.

مسیر ممکن: ۳۴ حرکت با افزایش مختصات به اندازه (۱،۲)، سپس یک حرکت با افزایشِ مختصات اول به اندازه ۲ و کاهش دوم به اندازه ۱، سپس ۳۱ حرکتِ (۲،۱). نقاط میانی (۳۵،۶۹) و (۳۷،۶۸) هستند و پایان (۹۹،۹۹) است. مسیر از صفحه بیرون نمی‌رود.

دام فکری: فقط دادن یک مسیر ۶۶حرکتی، ثابت نمی‌کند که کمتر از آن ناممکن است. جواب کاملِ کمینه‌سازی، دو بخش دارد: یک کران پایین و یک نمونه که دقیقاً به همان کران برسد.

ابتدا جواب را برای تعدادهای ۱، ۲، ۴، ۸ و دیگر توان‌های ۲ پیدا کنید.

پاسخ و دلیل: پاسخ: شماره ۷۳. اگر n=۲ به توان k به‌علاوه r باشد و آن توان بزرگ‌ترین توان ۲ِ کوچک‌تر یا مساوی n باشد، شماره برنده ۲r+۱ است. اینجا ۱۰۰=۶۴+۳۶، پس جواب ۷۳ است.

برای دیدن الگو، پس از دور اول، فقط شماره‌های فرد باقی‌اند و می‌توان آن‌ها را دوباره شماره‌گذاری کرد. برای تعداد زوج ۲m، جواب از ۲×جواب(m)−۱ ساخته می‌شود؛ برای تعداد فرد ۲m+۱، از ۲×جواب(m)+۱. این رابطه از پاسخ ۱ برای توان‌های ۲، فرمول بالا را می‌دهد.

دام فکری: اگر اولین حذف را شماره ۱ بگیرید یا پس از هر دور شمارش را از نو تنظیم کنید، پاسخ جابه‌جا می‌شود. نقطه شروع و ادامه پیوسته شمارش، جزو داده‌های مسئله‌اند.

برای ساده شدن تبدیل هر مرحله، به تعداد نارگیل‌ها ۹ واحد اضافه کنید.

پاسخ و دلیل: پاسخ: ۲۴۷ نارگیل. باقی‌مانده‌ها پس از چهار برداشت، به ترتیب ۱۸۳، ۱۳۵، ۹۹ و ۷۲ می‌شوند. هر بار پیش از تقسیم، سه عدد اضافه وجود دارد؛ صبح نیز ۷۲ به چهار سهم ۱۸تایی تقسیم می‌شود.

برای اثبات کمینه، اگر تعداد پیش از یک مرحله N باشد، مقدار N+۹ در هر مرحله در ۳/۴ ضرب می‌شود. پس تعداد اولیه به صورت ۲۵۶k−۹ است. باقی‌مانده صبح ۸۱k−۹ است و بخش‌پذیری آن بر ۴ ایجاب می‌کند k برابر ۱، ۵، ۹ و … باشد. کوچک‌ترین k مثبت، همان ۱ است.

دام فکری: یک عدد مناسب، کوچک‌ترین بودن را ثابت نمی‌کند؛ باید نشان دهید چرا عضو کوچک‌تری در خانواده جواب‌ها نیست.

رقم دهم باید صفر و رقم پنجم باید ۵ باشد.

پاسخ و دلیل: پاسخ: ۳۸۱۶۵۴۷۲۹۰. آخرین رقم صفر است چون عدد بر ۱۰ بخش‌پذیر است. پنجمین رقم ۵ است چون پیشوند پنج‌رقمی باید بر ۵ بخش‌پذیر باشد و صفر مصرف شده است.

جایگاه‌های ۲، ۴، ۶ و ۸ باید رقم‌های زوجِ باقی‌مانده را داشته باشند. سپس می‌توان با شرط‌های ۳، ۴، ۶ و ۸، ترتیب‌های ناسازگار را زود حذف کرد و شرط ۷ را هم آزمود. جدول پاسخ، تقسیم دقیقِ تمام پیشوندهای عدد پیدا‌شده را نشان می‌دهد.

دام فکری: قرار نیست از روی یک دنباله کوتاه، قانونی دلخواه حدس بزنید. همه محدودیت‌ها از قبل اعلام شده‌اند؛ همین تفاوت، این مسئله را از معماهای عددیِ چندجوابی جدا می‌کند.

برای ساختن ۲۴، عدد ۸ را بر یک‌سوم تقسیم کنید.

پاسخ و دلیل: پاسخ: ۸ تقسیم بر (۳ منهای ۸ تقسیم بر ۳). چون ۳ منهای ۸/۳ برابر یک‌سوم است، نتیجه ۸ تقسیم بر یک‌سوم یعنی ۲۴ می‌شود.

هر دو ۸ و هر دو ۳ دقیقاً یک بار مصرف شده‌اند. راه دشوارتر شدن مسئله این است که ناخواسته همه حاصل‌های میانی را صحیح فرض کنیم؛ صورت سؤال چنین محدودیتی ندارد. تقسیمِ درون پرانتز را باید دقیق نگه داشت و به عدد اعشاریِ گرد‌شده تبدیل نکرد.

دام فکری: برای حل، نیازی به بازی با شکل رقم یا عوض کردن معنی عملگرها نیست. کسر میانی کاملاً در چارچوب چهار عمل اصلی قرار دارد؛ محدودیتی را که اعلام نشده به سؤال اضافه نکنید.

تعداد مهره‌ها را دودویی بنویسید و زوجیت هر ستون را بررسی کنید.

پاسخ و دلیل: از دسته ۳تایی دو مهره بردارید تا دسته‌ها ۱، ۴ و ۵ شوند. جمعِ بدون انتقالِ دودویی، یا XOR، در این وضعیت صفر است. در هر نوبت خودتان دوباره چنین وضعیتی بسازید.

از وضعیت XOR صفر، تغییر یک دسته آن را ناصفر می‌کند. از وضعیت ناصفر، می‌توان دسته‌ای را انتخاب کرد و با کم کردن مهره‌هایش، XOR را صفر کرد: بالاترین بیتِ ناصفر راه انتخاب را نشان می‌دهد. در پایان، همه دسته‌های خالی نیز XOR صفر دارند؛ کسی که همواره آن را به حریف تحویل می‌دهد، آخرین برداشت را انجام خواهد داد.

نمونه ساختن وضعیت صفر با حرکت نخست: در هر ستون دودوییِ حالت دوم، تعداد رقم‌های ۱ زوج است. XOR یعنی جمعِ هر ستون به پیمانه ۲، بدون انتقال به ستون بعد.

دستور ادامه هم مشخص است: در هر نوبت، XOR کل را به دست آورید. دسته‌ای را انتخاب کنید که جایگزین کردن تعدادش با XORِ همان تعداد و XOR کل، آن را کوچک‌تر کند. آن‌قدر مهره از همان دسته بردارید تا به این تعداد برسد. چنین دسته‌ای در هر وضعیت ناصفر وجود دارد.

دام فکری: بزرگ‌ترین دسته همیشه انتخاب مناسب نیست؛ رابطه دودویی میان همه دسته‌ها تعیین‌کننده است.

یک نفر را انتخاب کنید؛ از پنج رابطه او، دست‌کم سه رابطه هم‌نوع‌اند.

پاسخ و دلیل: یکی را الف بنامید. او دست‌کم سه آشنا یا سه ناآشنا دارد. اگر سه آشنا داشته باشد و میان آن سه یک جفت آشنا باشد، همراه الف سه آشنای متقابل داریم؛ اگر هیچ جفتی آشنا نباشند، خودِ آن سه، غریبه‌های متقابل‌اند.

برای سه ناآشنای الف نیز استدلال معکوس است. پنج نفر کافی نیست: آن‌ها را روی یک پنج‌ضلعی بگذارید و فقط همسایه‌ها را آشنا فرض کنید. هم شبکه آشنایی و هم شبکه ناآشنایی یک چرخه پنج‌تایی‌اند و هیچ سه‌تاییِ کامل نمی‌سازند.

دام فکری: شناختنِ دوستِ دوست را به معنای آشنا بودن نگیرید؛ در این سؤال هر رابطه جداگانه تعریف شده است. همچنین یک مثال شش‌نفره، حکم «همیشه» را ثابت نمی‌کند؛ باید همه حالت‌ها پوشش داده شوند.

جمع چهار ضلع، عددهای گوشه را دو بار و بقیه عددها را یک بار حساب می‌کند.

پاسخ و دلیل: مجموع عددهای ۱ تا ۱۲ برابر ۷۸ است، اما مجموع چهار ضلع باید ۴×۲۵=۱۰۰ باشد. اختلاف ۲۲، همان یک بارِ اضافه حساب شدنِ چهار گوشه است. پس جمع گوشه‌ها حتماً ۲۲ است.

جدول پاسخ یک چیدمان ممکن است. چهار ضلع آن همگی جمع ۲۵ دارند و همه عددهای ۱ تا ۱۲ دقیقاً یک بار آمده‌اند. این معما الزاماً یک چیدمان یکتا ندارد؛ خواسته، یافتن یک نمونه سازگار و دلیل شرط گوشه‌هاست.

کنترل چهار ضلع: بالا ۱+۴+۱۲+۸؛ پایین ۱۱+۳+۹+۲؛ یک سمت ۱+۶+۷+۱۱؛ سمت دیگر ۸+۵+۱۰+۲. حاصل هر چهار عبارت ۲۵ است. چهار گوشه نیز ۱، ۸، ۱۱ و ۲ هستند که مجموعشان ۲۲ می‌شود.

دام فکری: اگر گوشه را فقط در یکی از دو ضلع حساب کنید، دیگر مسئله اصلی را حل نکرده‌اید. اول تفاوت «جمع همه اتاق‌ها» و «جمع چهار ضلع» را روشن کنید، بعد سراغ جابه‌جا کردن عددها بروید.